Методы Решения Дифференциальных Уравнений скачать

      Комментарии к записи Методы Решения Дифференциальных Уравнений скачать отключены

Уважаемый гость, на данной странице Вам доступен материал по теме: Методы Решения Дифференциальных Уравнений скачать. Скачивание возможно на компьютер и телефон через торрент, а также сервер загрузок по ссылке ниже. Рекомендуем также другие статьи из категории «Шаблоны».

Методы Решения Дифференциальных Уравнений скачать.rar
Закачек 3977
Средняя скорость 8296 Kb/s

Методы Решения Дифференциальных Уравнений скачать

Презентация была опубликована 3 года назад пользователемЕкатерина Чурина

Похожие презентации

Презентация на тему: » ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.» — Транскрипт:

1 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2 В настоящее время разработано большое число методов численного интегрирования систем дифференциальных уравнений. К их числу можно отнести метод Рунге- Кутта, явный и неявный методе Эйлера, метод Милна и т. д. Однако, несмотря на большое разнообразие этих методов, алгоритм программ для всех их примерно одинаков и состоит из следующих блоков, а именно:

3 Алгоритм программ блока исходных и расчета дополнительных данных; блока формирования начальных условий и итерационных циклов; блока формирования итерационных уравнений в зависимости от принятого метода численного интегрирования дифференциальных уравнений; блока формирования решения дифференциальных уравнений и обработки полученных результатов.

4 ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ Основным элементом численных методов является производная функции. Производная функции — есть предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении к нулю приращения независимой переменной

5 При численном нахождении производной заменяют отношение бесконечно малых приращений функций и аргумента отношением конечных разностей. Очевидно, что чем меньше будет приращение аргумента, тем точнее численное значение производной.

6 Методы графического представления производной В основе методов графического представления производной лежит геометрический смысл производной. Для вычисления первой производной разработаны двухточечные методы численного дифференцирования.

7 Двухточечные методы Для двухточечных методов при вычислении производных используется значение функции в двух точках. Приращение аргумента задается тремя способами, откладывая Δ x = h вправо, влево и в обе стороны от исследуемой точки. Соответственно получается три двухточечных метода численного дифференцирования

12 Численное решение дифференциальных уравнений Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида или

13 Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

14 Метод Эйлера В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения c начальными условиями y 0 =y(x 0 )

16 Варианты вывода формул Существуют аналитический и графический варианты вывода расчетных формул метода Эйлера Представим это уравнение в виде

17 Тогда можно записать:

18 Расчетные формулы 1-го шага Тогда расчетные формулы для первого шага можно представить в виде:

19 Расчетные формулы i -го шага Расчетные формулы i-го шага по аналогии с первым шагом можно записать в виде:

20 Если обозначить то расчетные формулы можно записать в виде

21 Численное решение системы дифференциальных уравнений Системой дифференциальных уравнений называется система вида

22 или где x – независимый аргумент, y i – зависимая функция, y i|x=x0 =y i0 – начальные условия. Функции y i (x), при подстановке которой система уравнений обращается в тождество, называется решением системы дифференциальных уравнений.

23 Метод Эйлера Итеррацонные уравнения для численного решения системы дифференциальных уравнений можно записать в виде:

24 Математическая модель двигателя постоянного тока Математическое описания процессов электромеханического преобразования энергии в двигателе постоянного тока (ДПТ) содержит: систему уравнений равновесия напряжений, в которых в качестве переменных приняты значения токов в обмотках ОВ и ОЯ; уравнение механического равновесия;

25 выражение для электромагнитного момента. В результате определенного вида преобразований получают систему уравнений, описывающую электромеханические процессы в двигателе постоянного тока, в удобном для математического моделирования виде, в форме уравнений Коши:

26 Система уравнений ДПТ

27 Для реализации такой модели в среде Mathcad с использованием метода Эйлера необходимо: сформировать исходные данные, которые включают в себя параметры двигателя, напряжения ОВ и ОЯ, суммарный момент инерции двигателя и момент статической нагрузки на валу двигателя; определить и записать начальные условия для исследуемых переменных ДПТ; определяют число итераций.

6.5.1. Постановка задачи

6.5.2. Метод Эйлера

6.5.4. Решение ОДУ n-го порядка

6.5.5. Сравнение методов решения ОДУ

6.5.6. Технология решения ОДУ средствами математических пакетов

6.5.6.1. Технология решения ОДУ средствами MathCad

6.5.6.2. Технология решения ОДУ в среде MatLab

6.2.7. Тестовые задания по теме «Методы решения ОДУ»

6.5.1. Постановка задачи

Любое физическое явление, в котором рассматривается степень изменения одной переменной по отношению к другой переменной, математически описывается дифференциальным уравнением(ДУ). Из курса высшей математики известно множество аналитических методов, позволяющих найти их решения. Однако, в некоторых случаях, например, если функция или коэффициентыДУпредставляют собой таблицу экспериментально полученных данных, использование аналитических методов невозможно.

Рассмотрим ряд численных методов, позволяющих без проведения сложных математических вычислений найти с заданной точностью решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Из курса математического анализа известно, что обыкновенным называется такое дифференциальное уравнение от одной переменной, которое содержит одну или несколько производных от искомой функции y(x). В общем виде ОДУ можно представить следующим образом:

(6.5.1-1)

где х – независимая переменная, а n – порядок ОДУ.

Численные методы позволяют решить только ОДУ 1-го порядка, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только такие уравнения. Следует отметить, что ОДУ n-го порядка можно привести к системе из n уравнений 1-го порядка, и при решении системы применить те же методы.

Известно, что для ОДУ 1-го порядка справедливы следующие формы записи:

Вторая форма записи называется ОДУ, разрешенным относительно старшей производной.

Решением ОДУ первого порядка называется такая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. При этом различают общее и частное решения ОДУ.

Общее решение ОДУ содержит n произвольных постоянных С1, С2, . . .,Сn и имеет следующий вид:

Общее решение ОДУ первого порядка содержит одну произвольную постоянную y = j(x,C) и описывает множество функций, удовлетворяющих уравнению y¢ = f(x,y) (рис. 6.5.1-1).

Если произвольная постоянная принимает конкретное значение С=С0, то из общего решения ОДУ, в соответствии с теоремой Коши, получаем частное решение y = j(x,C0), поскольку через каждую точку (x0, y0) в области допустимых значений проходит только одна интегральная кривая.

Теорема Коши для ОДУ 1-го порядка звучит так:

Если в ОДУ функция y¢ = f(x,y) и ее частная производная f¢ (x,y) определены и непрерывны в некоторой области G изменения переменных x и y, то для всякой внутренней точки (x0, y0) этой области данное уравнение имеет единственное решение.

Значения x0, y0 называются начальными условиями. Для ОДУ 2-го порядка, общее решение которого имеет две произвольные постоянные, в качестве начальных значений выступают x0, y0 = j(x0) и y0¢=φ¢ (x0).

При решении ОДУ точным решением является аналитическое выражение функции y = j(x), а результатом решения ОДУ численными методами является таблица значений y = j(x) на некотором множестве значений аргумента х. Поэтому при постановке задачи численного решения ОДУ наряду с начальными условиями x0, y0 необходимо задать область решения — отрезок [a;b] и шаг изменения аргумента h.

Таким образом, численное решение ОДУ представляет собой таблицу значений искомой функции для заданной последовательности аргументов, xi+1=xi+h, i=0, 1, …,n, где

h = xi+1-xi называется шагом интегрирования.

Выделяют два класса методов решения ОДУ: одношаговые и многошаговые. В одношаговых методах для нахождения следующего значения функции требуется значение только одной текущей точки, то есть

а в многошаговых – нескольких, например

Начинать решение задачи Коши многошаговыми методами нельзя, поэтому начинают решение, используя всегда одношаговые методы.

Основная идея решения ОДУ одношаговыми методами сводится к разложению искомого решения y(x) в ряд Тейлора в окрестности текущей точки и его усечению. Число оставшихся членов ряда определяет порядок и, следовательно, точность метода.

Рассмотрим наиболее распространенные одношаговые численные методы решения ОДУ.


Статьи по теме